Examen para casa

  Nuestro profesor nos ha propuesto un nuevo reto, que seamos capaces de resolver unos ejercicios usando unas herramientas del ordenador, Geogebra y Wiris.

1_ no es corona circular, ya que los centros de las circunferencias no coinciden.

     Incentro, punto medio de un triángulo en donde cortan todas sus bisectrices.

 

   2_ 

Continuamos con los conceptos del año pasado

 5_ Relaciones entre las razones trigonométricas de cualquier ángulo: 

Para cualquier ángulo, situando en la circunferencia goniométrica, las linia que definen el seno y el coseno, forman junto con el rádio un triángulo rectangulo. Si aplicásemo el teorema de Pitágoras, sacaríamos x2+y2=1 ( mejor escrito en la fotografía) que es lo mismo que sen2(ángulo) + cos2(ángulo) = 1 y de ahí depejaríamos las otras dos, esta es conocida como relación fundamental de la trigonometría.

A continuación tendríamos las tres que mas se suelen utilizar tg (ángulo)= sen (ángulo) / cos (ángulo). Dividiendo en la relación fundamental obtenemos : 

 6_  Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos:

 8_ Teorema de los senos:

Afirma que en un triángulo cualquiera, los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

 9_ Teorema del coseno:

Afirma que, en un triángulo cualquiera, el cuadrado de un lado es iguala la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman.

10_ Resolución de triángulos cuales quiera:

 11_ Expresiones del área de un triángulo:

 

Anécdota de Gauss

Se dice que cuando Gauss era pequeño el profesor les propuso un ejercicio y al terminar de dictar este, pensando que les llevaría toda la hora, se sentó a esperar. 

Gauss fué el primero en terminarle pero lo que no sabía el profesor es que estaba bien resuelto.

El problema proponía sumar los 100 primeros números 1+2+3...,+100 el pequeño niño consiguió la fórmula perfecta y es que pongamos que sumamos parejas 1+99  2+98 y asi sucesivamente se conseguirían 50 parejas (la mitad de 100) cullos resultados serían todos 101. El números (n) que queremos sumar es 100 y hay que llegar a 101 con lo cual ya hemos llegado a que hay que sumar 100 más 1 ( 100+1) y esto hay que hacerlo 100 veces 100(100+1) y como hemos dicho la suma por parejas es la mitad de este número n (2) con lo cual la fórmula sería 100(100+1)/2 y la fórmula general es igual a n(n+1)/2

Tema 4 (l) trigonometría

La circunferencia utilizada se conoce como Circunferencia Goniométrica, en la que el radio es equivalente a 1. En esta trazamos triámgulos a partir de los cuadrantes en los que en eje x sería el seno, el y el coseno y la tangente se reflejaria paralelamente al eje y pero por fuera de la circunferencia.  

      

Los ángulos los mediremos en radianes y a cada ángulo se le asigna un valor ya sea refiriendose al seno, al coseno, a la tangente, o a las opuestas de estas.

Dependiendo de el cuadrante en el que nos encontremos los resultados en senos, cosenos y tangentes pueden ser diferentes, o bien positivos y bien negativos. Siempre atendiendo a los ejes. Siempre hay los conocidos como casos extremos.

Los buenos o malos profesores

Muchas veces judgamos sin saber el porque hacen lo que hacen, que nunca intentarán perjudicarnos, que todo lo hacen por nosotros. No creo que hagan nada con mala intención, pero seguro que se equivocan muchas veces, como todo ser humano. Lo que muchos hacen es escuchar aportaciones de sus alumnos y hacer lo que creen conveniente y eso está muy bien ya que podemos pensar que lo que hacemos es perfecto pero no nos damos cuenta de los fallos hasta que no nos los dicen. 

Lo que si que está claro es que todo es para enseñarnos intentando hacerlo de la mejor manera pero intentando siempre inovar para que no se nos hagan tan pesadas las clases y eso es de agradecer. 

Examen

El pasado jueves realizamos la prueva escrita de matemáticas, los blog de los miempros de mi grupo son los siguientes: 

http://pablopegiynuestrasmates.blogspot.com.es/
http://blogdetaniaylasmates.blogspot.com.es/ 
http://paulatazomates.blogspot.com.es/ 

Estas son las cuestiones del examen: 

 Me han sido asignadas para reproducir explicitamente la 19 y la 45 en la siguiente entrada los pondré.

Ejercicio 19

19.-  

   

  Halla a para que el polinomio pa(x) = 2x4 + ax3 – 2x2 + 3x sea múltiplo de x+1. En ese caso factorízalo.

Ejercicios examen

6.-   Definición de número algebraico: 

  Solución real de una ecuación polinómica con coeficientes racionales.

10.- Pon tres ejemplos de números trascendentes.

 

11.- Definición de polinomio.

 

Expresión algebraica que constituye la suma o la resta ordenadas de un número finito de términos o monomios.

12.- El polinomio nulo.

Es aquel que tiene todos sus coeficientes nulos

13.- Opera (x-a)(x-b)(x-c). ¿Qué es el resultado? Observa sus coeficientes.

17.- Encuentra un polinomio de grado 4 que no tenga raíces.

21.- ¿El polinomio x4 + 4x3 - 81x2 -16x + 308 es divisible por x+11?

23.- Factoriza x3 – y3

24.- Halla dos números naturales cuya suma sea 10 y la suma de sus cubos 370.

27.- Calcula 

29.- Halla el inverso de la fracción algebraica .

Ejercicio 45

45.-      

        Una matrioska consiste en una muñeca hueca que tiene en su interior otra muñeca igual pero más pequeña y así sucesivamente, hasta llegar a la más pequeña que es maciza. El volumen de cada muñeca es  de la anterior. Si la muñeca mayor ocupa 360 cm3, ¿cuántas muñecas hay si la más pequeña ocupa aproximadamente 31,6 cm3? ¿Cuál es el volumen exacto de dicha muñeca?

Examen corregido

Aqui os pongo todos los ejercicios ya corregidos donde podreis comprobar las soluciones.

Ecuaciones polinómicas

Ecuaciones -> igualdad con incógnitas (2 miembros)

P(x) = 0 es una expresión algebráica (polinomio) 

La proposición de debajo explica que si dos números son iguales, si les sumamos a ambos el mismo número seguirán siendo iguales (doble implicación). Dos numeros que son iguales, lo siguen siendo si les multiplicas a ambos por el mismo valor, pero dos numeros multiplicados por el mismo número no tienen porque ser iguales (contra ejemplo: 8 x 8 = 3 x 0    8 es diferente que tres).

Ejercício